Книги, главы из книг для написания диплома, курсовой работы, реферата по предмету Экономика: Микроэкономика. Промежуточный уровень: Учебник. Хэл Р. Вэриан

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим условия, описывающие распределения, эффективные по Парето, с помощью дифференциального исчисления. По определению, распределение, эффективное по Парето, максимально повышает благосостояние каждого индивида при данной полезности для другого индивида. Поэтому выберем для обозначения уровня полезности, скажем, индивида B, и посмотрим, как можно максимально повысить благосостояние индивида A.

Задача максимизации имеет вид

max uA(, )

при uB(, )=

+ = (1,

+ = (2.

Здесь (1 = + есть общее наличное количество товара 1, а (2 = + есть общее наличное количество товара 2. В данной задаче максимизации нас просят найти такое распределение (, , , ), при котором полезность для индивида A становится максимально высокой при данном неизменном уровне полезности для индивида B и при том, что общее используемое количество каждого товара равно наличному его количеству.

Можно записать функцию Лагранжа для этой задачи в виде

L = uA(, ) — ((uB(, ) — ) —

—(1( + — (1) — (2( + — (2).

Здесь ( есть множитель Лагранжа при ограничении по полезности, а ( — множители Лагранжа при ограничениях по ресурсам. Беря производную функции Лагранжа по каждому из товаров, мы получаем четыре условия первого порядка, которые должны удовлетворяться в точке оптимального решения:

= — (1 = 0

= — (2 = 0

= —( — (1 = 0

= —( — (2 = 0.

Разделив первое уравнение на второе и третье уравнение — на четвертое, получаем

MRSA = = , (28.5)

MRSB = = . (28.6)

Интерпретация этих условий дана в тексте: при распределении, эффективном по Парето, предельные нормы замещения одного товара на другой должны быть одинаковы. В противном случае существовала бы какая-то сделка, которая могла бы повысить благосостояние каждого потребителя.

Вспомним условия, которые должны удовлетворяться для того, чтобы выбор, совершаемый потребителями, был оптимальным. Если потребитель A максимизирует полезность при своем бюджетном ограничении и потребитель B максимизирует полезность при своем бюджетном ограничении и если цены на товар 1 и товар 2 для обоих потребителей одинаковы, то должно соблюдаться

= (28.7)

= . (28.8)

Обратите внимание на сходство этих условий с условиями эффективности. Множители Лагранжа (1и (2 в уравнениях, выражающих условия эффективности, играют ту же роль, что и цены p1 и p2 в уравнениях, выражающих условия потребительского выбора. Действительно, в задаче этого рода множители Лагранжа иногда именуют теневыми ценами, или ценами эффективности (под "ценами эффективности" автор имеет в виду цены, приводящие к эффективному распределению — прим.науч.ред.).

Каждое распределение, эффективное по Парето, должно удовлетворять условиям, подобным тем, которые выражены уравнениями (28.5) и (28.6). Каждое конкурентное равновесие должно удовлетворять условиям, подобным тем, которые выражены уравнениями (28.7) и (28.8). Условия, описывающие эффективность по Парето, и условия, описывающие индивидуальную максимизацию полезности в рыночной среде, в сущности, одинаковы.