Книги, главы из книг для написания диплома, курсовой работы, реферата по предмету Экономика: Микроэкономика. Промежуточный уровень: Учебник. Хэл Р. Вэриан

ПРИЛОЖЕНИЕ

Выведем условия эффективности по Парето в экономике, где имеется не только обмен, но и производство, воспользовавшись дифференциальным исчислением. Пусть X1 и X2 представляют, как в основной части главы, общее произведенное и потребленное количество товаров 1 и 2:

X1 =

X2 = .

Первое, что нам требуется, — это найти удобный способ описания границы производственных возможностей, т.е. всех технологически допустимых комбинаций X1 и X2. Для наших целей удобнее всего сделать это, воспользовавшись функцией трансформации. Это функция совокупных количеств двух товаров T(X1, X2), таких, что комбинация (X1, X2) находится на границе производственных возможностей (границе множества производственных возможностей), если и только если

T(X1, X2) = 0.

Описав технологию, можно вычислить предельную норму трансформации — пропорцию, в которой мы должны пожертвовать товаром 2, чтобы произвести больше товара 1. Хотя данное название и вызывает в представлении картину "превращения" одного товара в другой, эта картина несколько обманчива. На самом деле происходит перемещение ресурсов из производства товара 2 в производство товара 1. Таким образом, уделяя меньше ресурсов производству товара 2 и больше — производству товара 1, мы перемещаемся из одной точки на границе производственных возможностей в другую. Предельная норма трансформации есть не что иное, как наклон границы множества производственных возможностей, обозначаемый нами как dX2/dX1.

Рассмотрим малое изменение производства (dX1, dX2), остающееся практически осуществимым. Мы получаем поэтому следующее уравнение:

dX1 + dX2 = 0.

Найдя из него предельную норму трансформации, получаем

= —.

Скоро эта формула нам пригодится.

Распределение, эффективное по Парето, — это такое распределение, которое максимизирует полезность любого индивида при заданном уровне полезности остальных людей. В случае для двух индивидов можно записать указанную задачу максимизации как

max uA(,)

при uB (,) =

T(X1, X2) = 0.

Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид

L = uA (,) — ((uB (,) — ) —

— ((T(X1, X2) — 0),

а условия первого порядка — вид

—= 0,

—= 0

= ——= 0

= ——= 0.

Выполнение преобразований и деление первого уравнения на второе дает нам

Выполнение той же самой операции над третьим и четвертым уравнениями дает

Левые части этих уравнений — наши старые друзья, предельные нормы замещения. Правая часть этих уравнений — предельная норма трансформации. Таким образом, указанные уравнения требуют, чтобы у каждого индивида предельная норма замещения для двух товаров равнялась предельной норме трансформации: пропорция, в которой каждый индивид готов заместить один товар другим, должна быть той же, что и пропорция, в которой превращение одного товара в другой является технологически допустимым.

Этот результат интуитивно понятен. Предположим, что MRS для какого-то индивида не равна MRT. Тогда пропорция, в которой данный индивид был бы готов пожертвовать одним товаром ради получения большего количества другого, отличалась бы от пропорции, в которой превращение одного товара в другой является технологически допустимым — но это означает, что существовал бы какой-то способ увеличения полезности для данного индивида, не затрагивающий чьего-либо еще потребления.