Книги, главы из книг для написания диплома, курсовой работы, реферата по предмету Экономика: Микроэкономика. Промежуточный уровень: Учебник. Хэл Р. Вэриан

ПРИЛОЖЕНИЕ

Во-первых, проясним, что понимается под "предельной полезностью". Как и вообще в экономической теории, слово "предельный" подразумевает всего лишь производную. Поэтому предельная полезность блага 1 есть всего лишь

Обратите внимание на то, что здесь мы применили частную производную, поскольку предельная полезность товара 1 подсчитывается при сохранении количества товара 2 постоянным.

Теперь можно по-иному вывести MRS, чем в тексте, прибегнув для этого к использованию дифференциального исчисления. Сделаем это двумя способами: 1) используя дифференциалы, 2) используя неявные функции.

При первом методе рассмотрим такое изменение (dx1, dx2), при котором полезность остается постоянной. Итак, мы хотим, чтобы

Первый член показывает возрастание полезности в результате малого изменения dx1, второй — возрастание полезности в результате малого изменения dx2. Мы хотим выбрать эти изменения таким образом, чтобы совокупное изменение полезности du было равным нулю. Выразим dx2/dx1 как

что является просто выведенным с применением математического анализа аналогом приведенного в тексте уравнения (4.1).

При втором методе представим себе, что кривая безразличия описывается функцией x2(x1). Иначе говоря, для каждого значения x1 функция x2(x1) показывает, сколько нам нужно x2, чтобы попасть на эту конкретную кривую безразличия. Следовательно, функция x2(x1) должна удовлетворять тождеству

u(x1, x2(x1)) ( k,

где k — показатель уровня полезности рассматриваемой кривой безразличия.

Можно продифференцировать обе части этого тождества по x1, получив

Заметьте, что x1 появляется в этом тождестве в двух местах, так что изменение x1 изменит функцию двояким образом, и следует брать производную в каждой точке, где появляется x1.

Далее выразим из этого уравнения (x2(x1)/(x1 и получим

т. е. в точности тот же результат, что и раньше.

Метод использования неявных функций несколько строже, но метод дифференцирования приводит к результату более прямым путем, если только не сделать какой-то глупой ошибки.

Предположим, что мы проводим монотонное преобразование функции полезности, скажем, функции v(x1, x2) = f (u(x1, x2)). Подсчитаем MRS для данной функции полезности. Используя цепное правило взятия производной, получим

так как член (f/(u сокращается в числителе и в знаменателе. Это показывает, что MRS не зависит от того, в каком виде представлена полезность.

Это дает нам полезный способ распознавания предпочтений, представленных разными функциями полезности: если даны две функции полезности, просто подсчитайте предельные нормы замещения и посмотрите, не одинаковы ли они. Если это так, то двум рассматриваемым функциям полезности соответствуют одни и те же кривые безразличия. И если направление возрастания предпочтений для каждой функции полезности одно и то же, то и предпочтения, описываемые этими функциями полезности, должны быть одинаковы.

ПРИМЕР: Предпочтения Кобба — Дугласа

MRS для случая предпочтений Кобба — Дугласа легко подсчитать, используя выведенную выше формулу.

Если выберем представление этих предпочтений с помощью логарифмов, имеющее вид

u(x1, x2) = c lnx1 + d lnx2,

то получим

Обратите внимание, что в данном случае MRS зависит только от отношения двух параметров и от количества двух товаров.

Что будет, если выбрать для представления рассматриваемых предпочтений степенную функцию Кобба — Дугласа вида

Тогда имеем

т.е. то же самое, что и раньше. Разумеется, с самого начала было известно, что монотонное преобразование не может изменить предельную норму замещения!