Книги, главы из книг для написания диплома, курсовой работы, реферата по предмету Экономика: Микроэкономика. Промежуточный уровень: Учебник. Хэл Р. Вэриан

ПРИЛОЖЕНИЕ

Весьма полезно уметь решать задачу максимизации полезности при заданных предпочтениях, получая при этом алгебраические примеры реально встречающихся функций полезности. В тексте главы мы проделали это для таких простых случаев, как совершенные субституты и совершенные комплементы, а в настоящем приложении посмотрим, как это делается в более общих случаях.

Во-первых, обычно мы будем стремиться к тому, чтобы представить предпочтения потребителя функцией полезности u(x1, x2)52. Как мы видели в гл. 4, данная предпосылка не накладывает слишком серьезных ограничений, поскольку большую часть стандартных предпочтений можно описать с помощью функции полезности.

Прежде всего заметим, что нам уже известно, как решать задачу на нахождение оптимального выбора потребителя. Требуется лишь свести воедино все изученное нами в трех последних главах. Из настоящей главы мы знаем, что оптимальный выбор (x1, x253) должен удовлетворять условию

MRS (x1, x2) = —, (5.3)

а в приложении к гл. 4 мы видели, что MRS можно выразить в виде отношения производных функции полезности, взятого с обратным знаком. Произведя эту подстановку и сократив знаки "минус", получаем

. (5.4)

Из гл. 2 известно, что оптимальный выбор должен удовлетворять также бюджетному ограничению

p1x1 + p2x2 = m. (5.5)

Получаем два уравнения — для условия, связанного с MRS, и для бюджетного ограничения — с двумя неизвестными x154 и x255. Остается лишь решить эти уравнения, найдя оптимальный выбор x156 и x257 как функцию цен и дохода. Имеется ряд способов решения двух уравнений с двумя неизвестными. Один из них, который всегда применим, хотя, возможно, и не всегда оказывается самым простым, состоит в том, чтобы выразить из бюджетного ограничения одно неизвестное и подставить полученное выражение в условие для MRS.

Переписав бюджетное ограничение, получаем

x258 =—x1,59 (5.6)

а подставив это выражение для x260 в уравнение (5.4), получаем

61.

Это достаточно громоздкое с виду выражение содержит лишь одну неизвестную переменную x162, и ее значение обычно можно выразить через (p1, p2, m). Затем из бюджетного ограничения можно получить решение для x263 как функции цен и дохода.

Можно вывести и более строгое решение задачи максимизации полезности, используя условия существования максимума функции, известные из курса дифференциального исчисления. Для этого сначала представим задачу максимизации полезности в виде задачи на нахождение условного максимума:

max u(x1, x2) 64

x1, x2 65

при p1x1 + p2x2 = m 66.

Эта задача требует выбора таких значений x167 и x268, которые, во-первых, удовлетворяли бы данному ограничению, а во-вторых, давали бы большую величину полезности u(x1, x2)69, чем любые другие значения x170 и x271, которые ему удовлетворяют.

Существуют два способа решения задачи такого рода. Первый заключается в том, чтобы из бюджетного ограничения просто выразить одну переменную через другую, а затем подставить полученное выражение в целевую функцию.

Например, для любого заданного значения x172 количество x273, требуемое для того, чтобы удовлетворялось бюджетное ограничение, задано линейной функцией

x2(x1)7475 = —x1 (5.7)

Теперь подставим в функцию полезности x2(x1)7677 вместо x2 и получим задачу на нахождение безусловного максимума

max u(x1, m/p2 — (p1/p2)x1)78.

x179

Это задача на нахождение безусловного максимума только по x180, поскольку мы использовали функцию x2 (x1)81 для того, чтобы гарантировать, что значение x282 всегда будет удовлетворять бюджетному ограничению, каково бы ни было значение x183.

Задача решается, как обычно, путем взятия производной функции полезности по x184 и приравнивания ее к нулю. В результате получим условие первого порядка в виде

. (5.8)

Первый член этого выражения отражает прямое воздействие возрастания x185 на возрастание полезности. Второй член состоит из двух частей: du/dx28687 — скорости возрастания полезности по мере роста x288, умноженной на dx2/dx189 — скорость возрастания x290 по мере роста x191 в связи с необходимостью удовлетворения уравнению бюджетной линии. Чтобы подсчитать эту последнюю производную, продифференцируем выражение (5.7)

= —92.

Подстановка полученного результата в (5.8) даст выражение

93,

говорящее лишь о том, что предельная норма замещения товаров x194 и x295 в точке оптимального выбора (, 96) должна быть равна отношению цен. Это именно то условие, которое мы вывели ранее: наклон кривой безразличия должен равняться наклону бюджетной линии. Разумеется, оптимальный выбор должен удовлетворять и бюджетному ограничению p197 + p298= m99, что снова дает нам два уравнения с двумя неизвестными.

Второй способ решения таких задач заключается в использовании множителей Лагранжа. Применение этого метода начинается с составления вспомогательной функции, известной как функция Лагранжа:

L = u(x1, x2) — ((p1x1 + p2x2 — m) 100

Новая переменная (101 именуется множителем Лагранжа, так как на нее умножается ограничение. Согласно теореме Лагранжа, оптимальный выбор (, 102) должен удовлетворять трем условиям первого порядка

— lp1 = 0,103

— lp2 = 0,104

— m = 0105.

Три этих уравнения характеризуются несколькими интересными моментами. Во-первых, они представляют собой просто приравненные к нулю производные функции Лагранжа по x1, x2 и (106. Последняя производная, по (107, есть не что иное, как бюджетное ограничение. Во-вторых, теперь у нас имеются три уравнения с тремя неизвестными x1, x2 и (108. Мы надеемся получить их решения для x1 и x2109, выраженные через p1, p2 и m.

Доказательство теоремы Лагранжа можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению продвинутого уровня. Эта теорема очень широко используется в продвинутых курсах экономической теории, для наших же целей требуется знать лишь формулировку данной теоремы и как ее применять.

В нашем конкретном случае стоит обратить внимание на то, что, поделив первое условие на второе, получим

110,

показывающее, как и раньше, что MRS должна равняться отношению цен. Другое уравнение дано бюджетным ограничением, так что у нас снова оказываются два уравнения с двумя неизвестными.

ПРИМЕР: Функции спроса Кобба — Дугласа

В главе 4 мы ввели функцию полезности Кобба — Дугласа

u(x1, x2) =111.

Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного преобразования, удобно прологарифмировать указанное выражение и работать далее с выражением

ln u(x1, x2) = c ln x1 + d ln x2.

Найдем функции спроса на x1112 и x2113 для функции полезности Кобба — Дугласа. Задача, которую мы хотим решить, имеет вид

max c ln x1 + d ln x2114

x1, x2 115

при p1x1 + p2x2 = m116.

Существует по меньшей мере три способа решения этой задачи. Один из них — просто записать условие для MRS и бюджетное ограничение. Используя выражение для MRS, выведенное в гл. 4, получаем

,117

p1x1 + p2x2 = m118.

Это два уравнения с двумя неизвестными, решив которые, можно получить оптимальный выбор x1119 и x2120. Один из путей решения этих уравнений — подстановка второго уравнения в первое, которая дает

121.

Проделав перекрестное умножение, получим

c(m —x1p1) = dp1x1.

Преобразование данного уравнения дает

cm = (c + d) = p1x1

или

x1 =122.

Это функция спроса на x1123. Чтобы найти функцию спроса на x2124, подставим полученное выражение в бюджетное ограничение и получим

x2 =—125.

Второй путь решения — с самого начала подставить бюджетное ограничение в задачу на нахождение максимума. Если мы сделаем это, задача примет вид

max c ln x1 + d ln (m/p2 — x1p1/p2).

Условие первого порядка для этой задачи имеет вид

—= 0.126

Немного несложных алгебраических преобразований и мы получаем решение

x1 = 127

Подставив это выражение в бюджетное ограничение x2 = m/p2 — x1p1/p2128, получим

129

Таковы функции спроса на два товара, к счастью, оказавшиеся теми же самыми, что и выведенные ранее другим методом.

Теперь обратимся к методу Лагранжа. Построим функцию Лагранжа

L = c ln x1 + d ln x2 — (p1x1 + p2x2 — m)

и продифференцируем ее, чтобы получить три условия первого порядка

—;130

—;131

— m = 0. 132

Фокус теперь состоит лишь в том, чтобы их решить! Лучше всего сначала найти решение для 133, а затем — для x1134 и x2135. Преобразуем первые два уравнения и перекрестно их перемножим, получив в результате

c = p1x1, d = p2x2.136

Эти два уравнения так и хочется сложить:

c + d = (p1x1 + p2x2) = m,

что даст нам

137

Подставив это выражение обратно в первые два уравнения и выразив из них х1138 и х2139, получим, как и раньше,

.140