Книги, главы из книг для написания диплома, курсовой работы, реферата по предмету Экономика: Микроэкономика. Промежуточный уровень: Учебник. Хэл Р. Вэриан

ПРИЛОЖЕНИЕ

Выведем уравнение Слуцкого, используя дифференциальное исчисление. Рассмотрим данное Слуцким определение эффекта замещения, предполагающее такую корректировку дохода, которая как раз позволяет потребителю купить исходный потребительский набор, обозначаемый нами теперь через (). Если цены равны (p1, p2), то фактический выбор потребителя при такой корректировке дохода будет зависеть от (p1, p2) и от (). Назовем эту взаимосвязь функцией спроса Слуцкого на товар 1 и запишем в виде (p1, p2,).

Пусть первоначальный набор спроса есть () по ценам (), а доход есть . Функция спроса Слуцкого показывает величину спроса потребителя при каких-то других ценах (p1, p2) и доходе, равном . Следовательно, функция спроса Слуцкого при (p1, p2,) есть не что иное, как обычная функция спроса при ценах (p1, p2) и доходе . То есть

(p1, p2,) ( x1(p1, p2,).

Данное уравнение означает, что спрос по Слуцкому при ценах (p1, p2) есть то количество товара, на которое потребитель предъявил бы спрос, если бы у него имелся доход, достаточный для покупки исходного товарного набора (). Это и есть не что иное, как определение функции спроса Слуцкого.

Взяв производную указанного тождества по p1, получаем

=+.

После преобразований получаем

=—.

Обратите внимание на то, что при данном исчислении мы применили цепное правило взятия производной.

Это уравнение Слуцкого в дифференциальной форме. Из него следует, что общий эффект изменения цены слагается из эффекта замещения (предполагающего корректировку дохода с целью сохранения доступности набора () и эффекта дохода. Из текста данной главы мы знаем, что эффект замещения отрицателен и знак эффекта дохода зависит от того, является данный товар товаром низшей категории или нет. Как нетрудно увидеть, данная запись есть просто форма уравнения Слуцкого, рассмотренная в тексте, за исключением того, что мы заменили D знаками производной.

А что можно сказать в отношении эффекта замещения по Хиксу? Для него также можно составить уравнение Слуцкого. Пусть есть хиксианская функция спроса, показывающая величину спроса потребителя на товар 1 при ценах (p1, p2) и такой корректировке дохода, которая позволяет сохранить постоянный уровень полезности, равный исходному уровню . Оказывается, в данном случае уравнение Слуцкого принимает вид

=—.

Доказательство справедливости этого уравнения основано на том факте, что для бесконечно малых изменений цены

Так, для изменений цены, учитываемых с помощью производных, эффекты замещения по Слуцкому и по Хиксу одинаковы. Доказательство этого положения не составляет слишком уж большого труда, но оно предполагает использование понятий, выходящих за рамки настоящей книги. Сравнительно простое доказательство приведено в книге Hal R.Varian, Microeconomic Analysis, 3rd ed. (New York: Norton, 1992).

ПРИМЕР. Возврат малого налога

Можно применить уравнение Слуцкого в дифференциальной форме для того, чтобы посмотреть, какова была бы реакция потребительского выбора на малые изменения налога в случае возврата сумм налоговых поступлений потребителям.

Как и раньше, предположим, что введение налога вызывает рост цены на величину, равную полной сумме налога. Пусть x — количество бензина, p — его исходная цена и t — сумма налога. Тогда изменение потребления будет задано выражением

Первый член в правой части этого выражения есть произведение изменения спроса, вызванного изменением цены, на величину изменения цены — что дает нам воздействие налога на цену. Второй член — произведение изменения спроса при изменении дохода на величину изменения дохода — доход возрастает на сумму налоговых поступлений, возвращаемую потребителю.

Теперь применим уравнение Слуцкого, выразив с его помощью первый член в правой части указанного выражения через эффекты замещения и дохода, вызванные самим изменением цены:

Эффекты дохода взаимно уничтожаются, и остается лишь эффект замещения в чистом виде. Введение малого налога с последующим возвратом налоговых поступлений оказывает на спрос такое же воздействие, как и введение изменения цены с соответствующей корректировкой дохода, позволяющей сохранить доступность старого потребительского набора — до тех пор, пока налог настолько мал, что справедливыми остаются взаимосвязи, выведенные для бесконечно малых приращений.